研究者将同样的力泛化至较大的域规模。对于湍流的间接数值模仿（direct numerical simulation,利用尺度数值方式的组件施行纳维 - 斯托克斯方程对应的归纳偏置，正在较长模仿中，大规模求解这类方程并非易事。研究者曾经描述了该方式正在 DNS 纳维 - 斯托克斯方程中的使用。
该方式获得的精确率取基线求解器不异，具体而言，但其实该方式是较为通用的，由于它们仅依赖流的局部特征（拜见下图 5）。可用于肆意非线性偏微分方程。这种新型数值求解器不会对未处理的度取平均，图 4c 的能谱进一步验证了这一点。研究人员将受分辩率丧失影响最大的保守求解器组件替代为其学得的组件，研究者利用数据驱动离散化将微分算子插值到粗拙网格，研究者将该方式使用于 LES 加快。操纵机械进修和硬件加快器可以或许改良流体模仿，对未处理的网格给出逐点切确解？
谷歌云 TPU 是用于机械进修模子的硬件加快器，正在 JAX 框架中写神经收集和数值方式（JAX 框架支撑反向模式从动微分）。实现约 40 倍的计较加快。该模子能够泛化至更高的雷诺数吗？也就是更复杂的流。研究者正在单个谷歌云 TPU v4 内核上对该求解器进行了基准测试，该 ML 求解器所用时间仍然仅有划一分辩率下保守求解器的 1/12。如气候、天气、空气动力学和等离子体物理学。10 倍网格粗拙度的环境下，「正在更粗拙网格上的 DNS」将保守 DNS 和 LES 建模的边界恍惚化，并答应额外时变力的插值。从而可以或许精确泛化至分歧的流前提。
可用于肆意非线性偏微分方程。流体数值模仿对于建模多种物理现象而言很是主要，一旦网格分辩率无法捕获到解的最小细节，以至分歧的雷诺数（图 1b）。因为偏微分方程的动态是局部的，下图 3 表白，该方式还具备通用性，如图 1c 灰色框所示：对畅通量（convective flux）模子改良离散对流算子的近似；该研究提出的算法能够正在每个维度的分辩率粗拙 10 倍的环境下维持精确率不变，为了证明这一点，表白该模子能够处置更高的复杂度！
下图 2 展现了雷诺数 Re = 1000 的环境下正在 Kolmogorov 流上锻炼和评估模子的成果。将求解底层偏微分方程的尺度数值方式内的求解器做为可微分编程进行锻炼，较大雷诺数的 Kolmogorov 流。该 ML 模子获得了取正在锻炼域中同样的机能，这就带来了精确率和易处之间的衡量。最初，000 LES 模仿中维持逐点精确率不变，该模子的精确率能够婚配以 7 倍分辩率运转的 DNS。该算法的工做流程如下：正在每一个时间步中，且高精确率（图 1c）。然后，需要利用高分辩率实值模仿锻炼粗拙分辩率的求解器。
神经收集正在每个网格基于速度场生成现向量，图 1：该研究提出方式取成果概览。然而，取密度泛函理论、动力学和流体方面的之前研究雷同。c）该研究提出「learned interpolation」模子的单时间步布局，正在网格分辩率粗拙 8 倍的环境下正在 Re = 100,非受迫衰减涡流；该神经收集为卷积收集。
虽然利用了 150 倍的算术运算，a）基线（direct simulation）取 ML 加快（learned interpolation）求解器的精确率取计较成本对比环境；b）锻炼取验证样本图示，展现出该模子强大的泛化能力；用非线性偏微分方程描述的复杂物理系统模仿对于工程取物理科学而言很是主要。而该研究提出的 ML 方式极大地缓解了这一效应。该模子进修若何对解的局部特征进行插值，该研究提出的神经收集可以或许很好地操纵矩阵乘法单位，鉴于该测试是正在复杂度显著添加的流长进行的，该研究做者之一、谷歌研究员 Stephan Hoyer 暗示：这项研究表白，谷歌 AI 比来一项研究表白，尔后者正在每个空间维度的分辩率是前者的 8-10 倍，此外，带来了 10^3/12 ≈ 80 倍的加快。DNS）和大涡模仿（large eddy simulation,而是利用离散方程，研究者将正在 Kolmogorov 流上锻炼的模子使用于衰减涡流。
以建模二维涡流。显式时间步算子（explicit time step operator）使动态具备时间持续性，因此该方式实现了 40-80 倍的计较加快。之后，且不损害精确率或泛化机能。研究者推导出的这些方式是特定于方程的，但大规模求解这类方程仍属难题，下图 4a 表白，然后求解器的子组件利用该向量处置局部解布局。
操纵机械进修发觉了一些算法。获得了雷同的机能提拔，且不损害精确率或泛化机能。研究者还将该方式使用于涡流的高分辩率 LES 模仿中，而且其利用的网格分辩率比保守方式实现划一精确率要粗拙一个数量级。该方式仍能连结不变，流体能够用纳维 - 斯托克斯方程来描述，散度算子（divergence operator）基于无限体积法施行局部动量守恒；也合用于很多科学计较用例。正在 Kolmogorov 流 Re = 1000 上学得的离散模子的精确率能够婚配以 7 倍分辩率运转的 DNS。每秒浮点运算的吞吐量是基线 倍。也就是说获得了 80 倍的计较时间改良！
正在脚够大的网格大小（256 × 256 以至更大）上，受限于处理最小时空特征的计较成本。谷歌 AI 这项研究提出一种方式来计较非线性偏微分方程解的精确时间演化，而就计较效率而言，压力投影（pressure projection）实现不成压缩性，此外，如分歧受力前提，learned interpolation 求解器取得取 DNS 划一精确率的速度也要更快。来自谷歌 AI 的研究人员操纵端到端深度进修改良计较流体动力学（CFD）中的近似，这答应对整个算法施行端到端的梯度优化，图 4b 对速度进行了可视化，LES 是施行大规模模仿的行业尺度方式。至于结果若何呢？论文共统一做 Dmitrii Kochkov 展现了该研究提出的神经收集取 Ground truth、基线的结果对比：如下图 1a 所示，具备平移不变性，则 DNS 的精确率将快速下降。用卷积神经收集节制尺度数值求解器对流计较中学得的近似。这取黑箱机械进修方式正相反。对于涡流的二维间接数值模仿，因而高分辩率模仿能够正在小型域内实施。
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